关键利率久期计算及实例分析

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　　关键利率久期计算及实例分析

　　杨筱燕1

　　一、关键利率久期

　　在利率期限结构中，某些关键的整数期限的利率对金融市场交易者心理产生的影响是至关重要的。1年期利率、5年期利率和10年期利率就是这些关键期限利率的典型代表。关键利率久期(Key-Rate Duration)正是以这些关键期限利率为基础，衡量固定收益证券价格对利率敏感性的分析方法。具体而言，它描述的是关键年期的利率发生变化时，债券价格的敏感性。一般而言，人们假定关键年期利率对其他非关键年期利率的影响是简单的线性关系(例如线性递减关系)，且关键利率变动的影响对其他关键年点的影响为零。

　　(一)计算步骤：

　　1. 选择利率水平变化的关键年期，如默认可选择：1年、3年、5年、7年、10年、

　　15年、20年和30年。

　　2. 设定其他期限利率随关键期限利率变动的关系：假定关键期限利率对非关键期限利率的影响是单纯线性关系——关键年利率变动最大，其附近期限的利率变动线性递减，到邻近的关键年点时这种影响已经递减为零。 具体而言，假定7年期利率上升10bp，由于7年期利率与右侧10年期利率的时间隔3年，所以当7年期利率发生变动时，对于右侧利率的影响将以每年10/3=3.33bp的速度下降(因为7年期利率和

　　10年期利率均为关键期限利率，且关键期限利率的变动对其他关键期限利率无影 响)。因此，当7年期利率上升10bp时，8年期的利率上升6.67bp，9年期的利率上升10-2×3.33=3.33bp，依次类推，10年期的利率不受影响。

　　当7年期的利率发生变动时，也会影响7年期以下的利率。因为7年期利率与左 侧的5年期利率相隔2年，所以7年期利率上升10bp的影响将以每年10/2=5bp的速度下

　　1 杨筱燕，博士， FRM ，中国银河证券股份有限公司风险管理部总监。电子邮件：

　　[email protected]。

　　降。因此，当7年期利率上升10bp时，6年期利率上升10-5=5bp，相应的，5.5年期利率上升10-1.5×5=2.5bp，以此类推。

　　3.假定第n个关键年的利率分别向上和向下发生一个微小的变动Äy ，根据上述关键年利率变动的关系，可构建新的期限结构和按以上规则变动后的到期收益率曲线，并以之分别计算变化后的债券或组合市值V+ ,V- 。结合当前债券的市值V0 ，得到

　　该n年期的关键利率久期为：

　　n

　　D = V- -V+ ， Äy假设为1%

　　2V0Äy

　　其中，V+ 是利率上升Äy 时债券的价格、V- 是利率下降Äy 时债券的价格，V0 是债券的当前价格。以10年期与7年期主干点变动100个基点的影响举例见下图。

　　1%

　　5Y 7Y

　　8Y 10Y

　　15Y

　　(二)水平期限结构下关键年利率久期的计算

　　关键利率久期的关键点既可以取自正常的期限结构，也可以取自完全水平的期限结构(到期收益率模式)。

　　在水平的期限结构下，各年期的关键利率久期之和等于修正久期。因为每一个现金流都会在计算相邻主干点的关键利率久期时被计算两次，而两次的加总恰好等于修正久期中这一年现金流产生的久期，所以把所有关键利率久期相加，之和等于修正久期。

　　现金流付息时间

　　02009-5-26

　　02010-5-26

　　02011-5-26

　　02012-5-26

　　02013-5-26

　　1002014-5-26

　　对于一只零息债券而言，在水平的利率期限结构下，其关键利率久期之和即为该债券的修正久期。

　　70.33

　　现价

　　到期收益率久期修正久期有效久期凸性理论价格关键年久期之和

　　6.10%5.945.605.5536.6470.345.60

　　水平收益率曲线下关键年久期之和等于修正久期的具体推导：

　　Äy1

　　Y1

　　Äy

　　Y2

　　2

　　KD = V1- -V1+ + V2- -V2+ = V1- -V1+ × Äy1 + V2- -V2+ × Äy2 = V1- -V1+ × Äy1 + V2- -V2+ × Äy2

　　n 2V Äy 2V Äy 2V Äy Äy 2V Äy Äy 2V Äy Äy 2V Äy Äy

　　0 0 0 1 0 2 0 1 0 2

　　对于某一个零息票债券： V1- -V1+ » V2- -V2+ » dP ， Äy = Äy + Äy ，

　　2V Äy 2V Äy P 1 2

　　0 1 0 2

　　V1,V2 分别为前后两个关键年利率变动后，债券的价值;

　　Äy1, Äy2 为债券对应的关键利率调整形成的实际利率变动。

　　所以 KD

　　» dP × ( Äy1 + Äy2 ) = dP

　　n P Äy P

　　由于零息债券关键利率久期相加等于修正久期，且付息债可以视为一系列零息债券的组合，所以对于一般的付息债而言，关键利率久期之和也等于修正久期。

　　二、计算案例

　　(一)案例介绍

　　以 08 康美债(126015.SH)(2008-7-17)作为例子，其主要数据如下：

　　现金流付息时间现价主干年即期利率

　　0.82009-5-2670.1103.15%

　　0.82010-5-26 15.23%

　　0.82011-5-26 25.57%

　　0.82012-5-26 35.76%

　　0.82013-5-26 55.90%

　　100.82014-5-26 76.00%

　　(二)即期收益率曲线插值

　　1. 由于国内收益率曲线不完整，所以在计算关键利率久期时，应当对其进行关键点插值才可得到完整的收益率曲线。线性、立方、条三种插值技术都是可供选择的关键点插值方法。

　　2. 此外，由于在计算每一个关键利率久期时，都需要获得线性改变后新的收益率曲线，所以如果债券现金流不在关键利率点上，也需要进行插值。

　　例如，在第 7 年处关键利率的向下插值是假设 7 年期利率下降 1%，而 5 年、

　　10 年的利率保持不变，之间各年的利率是将 7 年分别与 5 年、10 年进行线性插值的结果。其他年份的插值与本例类似。

　　第七年关键利率久期向下插值的示例

　　通过 Matlab 程序计算其久期等指标结果如下：

　　到期收益率久

　　期修正久期有效久期凸性理论价格关键年久期之和

　　7.13%5.795.415.3734.7674.655.47

　　值得注意的是，某一年的关键利率久期并不等同于这一年的零息票债券的有效久期。这是因为关键利率久期模型采用了自身的算法，它描述的是某一关键年年利率发生变化时，假设对邻近年利率发生线性影响，债券价格变化的百分比;而有效久期描述的是即期收益率曲线整体移动时，债券价格变动的百分比，二者虽然可以建立其联系，但在数值上并不相等。

　　(三)关键利率久期的两种算法比较

　　由于关键利率久期的计算，一般采用即期收益率曲线定价，所以计算过程中对

　　债券当前价格V0 的选取上，有两种选择：即期收益率曲线得到的理论价格或当时的市场价格。

　　理论价格计算的关键年久期

　　主干年利率下降时

　　组合价值 V+利率上升时

　　组合价值V-关键利率久期

　　Y174.6774.640.02

　　Y374.6974.620.05

　　Y576.8472.542.88

　　Y776.5672.802.52

　　Y100.000.000.00

　　Y150.000.000.00

　　Y200.000.000.00

　　Y300.000.000.00

　　关键久期之和 5.47

　　注：因为该债券存续期约为 5.8 年，主要现金流距 5 年较近，所以第 5 年的关键利率久期最大。

　　同时，根据市场价格和理论价格计算的关键利率久期的比较如下：

　　修正久期市场价格计算关键利率久期之和理论价格计算关键利率久期之和

　　5.415.815.47

　　从上表可见，根据理论价格计算的关键利率久期之和与修正久期更为近似，因此我们建议在计算关键利率久期时，最好根据即期收益率曲线定价后，选取理论价格进行计算。

　　三、算法说明

　　(一) 由于关键年久期 KD 的计算公式有两种方式：

　　法一：n 年期关键年久期为D j

　　= V- - V+ 2V0 Äy

　　法二：假设第 j 个关键年期的利率发生了一个微小的变化Äy ，用新的收益率曲

　　0

　　线对债券及组合重新定价得到价格为V ' ，原来的价格为V ，则第 j 年的关键年久期为：

　　Dj = -

　　V ' - V V0

　　Äy

　　0

　　= - ÄV ´ 1

　　V0 Äy

　　(V 对收益率取偏分，近似得到)

　　(二) 在本例中我们选用的是方法一。V0 在关键年久期计算时，可以采用市价，或理论价格(用即期收益率曲线定出来的价格)，二者结果不同。

　　(三) 计算久期和修正久期时，需要用YTM，方法一采用市场到期收益率YTM曲线的值;方法二采用该债券的市价倒推出其对应的 YTM 曲线。在本例中我们采用的是方法二。

　　四、关键利率久期计算需明确的问题

　　对债券进行风险评估并用于投资过程中的风险限额管理，可采用关键利率久期指标进行监测和利率风险分析。但计算过程中必须对以下技术细节加以明确

　　1. 修正久期计算的收益率采用市场基准收益率曲线，还是自身价值对应的收益率曲线进行计算;关键利率久期采用近似算法或采用即期收益率曲线分别计算理论的 V-和 V+，笔者建议分别计算理论的 V-和 V+较好，因为关键利率变动会导致新利率期限结构不再平滑，不应利用泰勒一阶近似计算。

　　2. 关键利率久期计算时的 V0 采用的是该债券的市场价格，还是当前的理论价

　　格;

　　3. 插值法是样条法、立方样条法、还是线性插值法，并要进行市场验证，选择

　　最佳方法;

　　4. 计算久期等风险指标，采用的是净价。

　　只有明确了上述问题，才能了解所用的模型和参数，避免在投资或风险限额管

　　理实务过程中执行的片面性或绝对性，真正发挥指标的预警作用。

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